Onderzoek Ignacio Barros

Abstract

Algebraïsche meetkunde is een gebied dat geometrische intuïtie ondersteunt met de precisie van de algebra. De algebraïsche informatie van een algebraïsche variëteit is verpakt in schoven en georganiseerd in categorieën wat het mogelijk maakt om het gereedschap van homologische en (niet-)commutatieve algebra te gebruiken. Deze categorische benadering is vanzelfsprekend voor leidende vragen in de spiegelsymmetrie, birationele meetkunde en theoretische natuurkunde. Het is ook van fundamenteel belang, omdat veel eigenschappen en zelfs classificatieresultaten zonder dit onmogelijk zijn. Het eerste doel van dit project is om met behulp van niet-commutatieve deformatietheorie de contractibiliteit van krommen, een fundamentele eigenschap, te onderzoeken. Het zal dankzij moderne taal klassieke resultaten generaliseren, en veel nieuwe expliciete voorbeelden van rationele krommen in driedimensionale ruimten opleveren. Het koppelen van contractibiliteit en niet-commutatieve algebra zal toepassingen hebben op de meetkunde van Calabi-Yau-variëteiten. Het tweede deel omvat homologische spiegelsymmetrie voor de onontgonnen setting van oppervlakken met milde positieve kromming. Het hoofddoel is het bewijzen van een spiegelstelling, welke de fysieke informatie, die het oppervlak draagt, verpakt met behulp van homologische algebra. Deze nieuwe setting vereist het formuleren van nieuwe definities en heuristieken, en zal een weg openen om andere Fano-variëteiten van hogere dimensie te bestuderen.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Barros Ignacio
• Co-promotor: Lowen Wendy

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Moduliruimten zijn universele variëteiten, ze parametriseren alle variëteiten van een bepaalde soort. Wij streven naar een beter begrip van deze nieuwe birationale invarianten in de context van moduliruimten. Modulitheorie staat centraal in de moderne algebraïsche meetkunde, met toepassingen ook buiten de wiskunde. We onderzoeken belangrijke moduliruimten vanuit het perspectief van de birationele meetkunde. We besteden in het bijzonder aandacht aan recent geconstrueerde moduliruimten, zoals die van hyperkähler-variëteiten met een Lagrangiaanse vezeling en differentiaalstrata, waarvoor bijna niets bekend is over hun birationale complexiteit. Bepalen of een variëteit 'rationaal' (zo eenvoudig mogelijk) is, is een bekend moeilijk probleem. Aan de andere kant is er voor variëteiten van 'algemeen type' (zo ingewikkeld mogelijk) niet veel bekend over hoe ze van elkaar te onderscheiden. De meeste moduliruimten vallen in deze categorie. De afgelopen vijf jaar heeft een nieuwe reeks invarianten, bekend als "maten van irrationaliteit", bijzondere belangstelling gewekt. Zij zullen een cruciale rol spelen bij het begrijpen van de meetkunde van moduliruimten en hun complexiteit. We bestuderen deze vragen voor concrete recent geconstrueerde collecties van moduliruimten die diepgaande verbanden hebben met modulaire vormen en dynamica.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Barros Ignacio

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Algebraïsche meetkunde is de studie van algebraïsche variëteiten. Moduliruimten zijn universele variëteiten, ze parametriseren alle variëteiten van een bepaalde soort. Modulitheorie staat centraal in de moderne algebraïsche meetkunde, met toepassingen ook buiten de wiskunde. We onderzoeken belangrijke moduliruimten vanuit het perspectief van de birationele meetkunde. We besteden in het bijzonder aandacht aan recent geconstrueerde moduliruimten, zoals die van hyperkähler-variëteiten met een Lagrangiaanse vezeling en differentiaalstrata, waarvoor bijna niets bekend is over hun birationale complexiteit. Bepalen of een variëteit 'rationaal' (zo eenvoudig mogelijk) is, is een bekend moeilijk probleem. Aan de andere kant is er voor variëteiten van 'algemeen type' (zo ingewikkeld mogelijk) niet veel bekend over hoe ze van elkaar te onderscheiden. De meeste moduliruimten vallen in deze categorie. De afgelopen vijf jaar heeft een nieuwe reeks invarianten, bekend als "maten van irrationaliteit", bijzondere belangstelling gewekt. Zij zullen een cruciale rol spelen bij het begrijpen van de meetkunde van moduliruimten en hun complexiteit. Wij streven naar een beter begrip van deze nieuwe birationale invarianten in de context van moduliruimten. We bestuderen deze vragen voor concrete recent geconstrueerde collecties van moduliruimten die diepgaande verbanden hebben met modulaire vormen en dynamica.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Barros Ignacio
• Mandaathouder: Barros Ignacio

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

We bestuderen algebraïsche cycli op hyperkähler variëteiten. Het doel is de kennis over filtraties, tautologische cycli en tautologische identiteiten uit te breiden naar de niet-commutatieve omgeving en het Franchetta-conjectief te bestuderen op klein-dimensionale universele families van hyperkähler-variëteiten met eindige quotiëntsingulariteiten.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Barros Ignacio
• Mandaathouder: He Shi

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject