Onderzoek Sonja Hohloch

Abstract

Dynamische systemen zijn een zeer veelzijdig en interdisciplinair veld omdat het fenomenen en processen beschrijft en modelleert die voorkomen in wiskunde, natuurkunde, biologie, scheikunde enz. door middel van differentiaalvergelijkingen. Bovendien gaan pure en toegepaste aspecten vaak hand in hand en vullen ze elkaar op natuurlijke wijze aan. Van bijzonder belang voor ons zijn integreerbare en niet-integreerbare Hamiltoniaanse dynamische systemen en hun singulariteiten evenals Hamiltoniaanse PDE's en Floer- en Morsetheorie in symplectische en hyperkählermeetkunde.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Hohloch Sonja

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Het doel van dit project is om de kracht en veelzijdigheid van optimaal transport toe te passen op de studie van de bijna rigiditeit van de positieve massastelling. De positieve massastelling wordt gemotiveerd door de algemene relativiteitstheorie en stelt dat asymptotisch platte Riemann-variëteiten met niet-negatieve scalaire kromming een niet-negatieve massa moeten hebben. Bovendien is de enige asymptotisch platte Riemann-variëteit met niet-negatieve scalaire kromming en massa nul de Euclidische ruimte. Het is natuurlijk om te vragen of de positieve massastelling voldoet aan bijna rigiditeit: als een asymptotisch platte Riemann-variëteit een kleine massa heeft, klopt het dan dat het erg op de Euclidische ruimte lijkt? De juiste context voor deze vraag is niet-gladde Riemann-meetkunde en metrieken op de ruimte van Riemann-variëteiten. Optimaal transport is buitengewoon succesvol geweest in deze gebieden, en daarom is het natuurlijk om te proberen deze technieken toe te passen op de bijna rigiditeit van de positieve massastelling. Dit is echter nog niet gedaan. In dit project stellen we voor om het volgende te doen: 1) Bestudeer de bijna stijfheid van de positieve massastelling in de context van Riemann met behulp van metrieken die voortkomen uit optimaal transport. 2) Relateer metrieken die momenteel worden gebruikt om de bijna rigiditeit van de positieve massastelling te bestuderen met metrieken die voortkomen uit optimaal transport.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Hohloch Sonja
• Mandaathouder: Bryden Edward

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Geometrische Mechanica staat voor de toepassing van differentiaalmeetkundige methoden bij de studie van dynamische systemen uit de wiskundige natuurkunde. De doelstellingen in dit project zijn gecentreerd rond dergelijke meetkundige technieken voor de reductie en ontreductie van Lagrangiaanse systemen die invariant zijn onder de actie van een symmetrie Liegroep. Dergelijke systemen komen voor in de variatierekening en in de Finslermeetkunde. Voor een hoofdvezelbundel verwijst de terminologie symmetriereductie naar het feit dat een invariant Lagrangiaans systeem op de totale manifold gereduceerd kan worden tot een stel differentiaalvergelijkingen op de quotiëntmanifold (de zogenaamde Lagrange-Poincare-vergelijkingen). Ontreductie heeft het tegenovergestelde doel: een Lagrangiaans systeem op de quotiëntmanifold wordt gerelateerd aan een stel differentiaalvergelijkingen op de totale manifold. In dit project zullen we de condities onderzoeken waaronder het ontgereduceerde systeem teruggebracht kan worden tot een stel Euler-Lagrangevergelijkingen, voor een zekere (nog onbekende) Lagrangiaan op de totale manifold. Het belangrijkste instrument dat we hiervoor zullen gebruiken, is het zogenaamde inverse probleem van de variatierekening. Daarnaast zullen we de methode van ontreductie zowel uitbreiden als specifieker maken, op zo'n manier dat ze voldoet aan de behoeften van het onderzoek naar isometrische submersies tussen twee Finslermanifolds.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Hohloch Sonja
• Co-promotor: Mestdag Tom
• Mandaathouder: Yasaka Kenzo

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Symplectische meetkunde is ontstaan als de wiskundige basis van klassieke mechanica. In het begin van de twintigste eeuw werd het ook de basis voor kwantummechanica en sinds de komst van snaartheorie speelt deze meetkunde bovendien een sleutelrol in kwantumveldentheorie. Het doel van dit project is om de ideeën en technieken van symplectische meetkunde toe te passen in nieuwe gebieden, niet in fysica, maar binnen meetkunde zelf. We zullen een brede waaier van problemen aanpakken, gaande van de studie van oppervlakken die oppervlakte minimaliseren tot de studie van negatief gekromde ruimten. Deze gebieden zijn op het eerste gezicht niet gerelateerd aan symplectische meetkunde, maar symplectische technieken zullen ons in staat stellen om voortgang te boeken waar dat tot nog toe onmogelijk was. Om dit te doen, zullen we ook de technieken zelf moeten verfijnen, wat tot vooruitgang in symplectische meetkunde zelf zal leiden.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Hohloch Sonja

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Tollen zijn bij het grote publiek bekend als speelgoed dat op een punt om een omwentelingsas draait, voordat ze beginnen wiebelen en uiteindelijk omvallen. Sommige soorten tollen kunnen grappig en onverwacht gedrag vertonen, zoals de Tippe Top die kan omkeren en op zijn steel kan draaien, of de Wiebelsteen die plotseling kan beginnen te trillen alvorens van richting te veranderen. De Eulerschijf is een wiskundig speelgoed dat geïnspireerd is op een rollend en draaiend muntstuk. Tijdens de laatste fase van zijn beweging geeft het een zoemend geluid met een snel toenemende frequentie. Vanuit wiskundig oogpunt is het bestuderen van de beweging van draaitollen, schijven of, meer algemeen, starre lichamen in de 3-dimensionale ruimte een klassiek onderwerp met een lange en rijke geschiedenis. In dit project zullen we een tol met een afgeknotte punt bestuderen: na wat spelen met een zelfgemaakte tol met een kleine afgeknotte punt, zien we dat het contactpunt van de top met het vlak eerst op een cirkel beweegt, waardoor de tol wat wiebelt. Al snel wordt de hele cirkel, dwz de draaiende as, verticaal. We merken dat veranderingen in de grootte van de afknotting drastische gedragsveranderingen veroorzaken. Intuïtief lijkt dit op een overgang van het gedrag van een Eulerschijf naar dat van een draaitol. Het doel is om dit wiskundig te modelleren en om te bepalen onder welke voorwaarden (grootte/dikte van de cirkel, wrijving etc.) welk gedrag domineert en hoe die overgang eruit ziet.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Hohloch Sonja

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Differentiaalvergelijkingen modelleren fenomenen uit de wiskunde, fysica, biologie, chemie en vele andere gebieden. Beschouwd onder tijdsevolutie, spreekt men van 'dynamische systemen'. Dit voorstel focust op systemen op drie- en vierdimensionale variëteiten wiens stroom een S^1 x S^1- of een S^1 x R actie induceert. Men noemt dit 'torische' resp. 'semitorische' systemen. We hebben interesse in systemen binnen de symplectische en contact meetkunde. Deze zijn de laatste 30 jaar uitgegroeid tot zeer belangrijke domeinen met vele vertakkingen binnen de wiskunde en fysica. Symplectische meetkunde bestaat enkel in even dimensies en dient als context voor Hamiltoniaanse dynamica. Contact meetkunde bestaat enkel in oneven dimensie en is belangrijk voor Reeb dynamica. 'Symplectisatie' en 'contactisatie' laten soms toe om de ene in de andere om te zetten. Toen torische systemen op compacte symplectische variëteiten werden geclassificeerd in de jaren 80, volgde snel de classificatie van de torische systemen in de contact meetkunde. Omdat torische systemen restrictief zijn, begon men systemen te zoeken met minder beperkingen. Zo'n 10 jaar geleden werden semitorische systemen geclassificeerd in symplectische Hamiltoniaanse context. Het hoofddoel van dit project is om semitorische systemen in de contact meetkunde te definiëren en classificeren en om de interactie te bestuderen tussen (semi)torische systemen uit de contact meetkunde en semitorische systemen uit de symplectische meetkunde.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Hohloch Sonja
• Mandaathouder: Ignoul Senne

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Integreerbare systemen zijn dynamische systemen met voldoende behouden grootheden. Semitorische systemen gedragen zich bijzonder goed maar zijn toch flexibel genoeg om interessante eigenschappen te hebben. Semitorische meetkunde werkt zeer goed samen met Poisson meetkunde, wat op zijn beurt verbonden is met Hamiltoniaanse dynamica en vele andere gebieden in wis- en natuurkunde. Dit project heeft als doel om deze verbindingen te gebruiken, en nieuwe op te richten. Zodoende, zullen we resultaten op het raakvlak van deze gebieden behalen. We zullen de connectie met natuurkunde versterken via het besturen van een symmetrie genaamd T-dualiteit, en het toepassen daarvan op gegeneraliseerde complexe structuren. We zullen een nieuwe verbinding leggen tussen singuliere en verbladerde meetkunde. Verder vergelijken we de beschrijving van singuliere differentiaalvormen in algebraïsche- en differentiaalmeetkunde, via Lie algebroïden en log structuren respectievelijk. Onze expliciete doelstellingen zijn: (1) Het bestuderen en classificeren van semitorische variëteiten met singuliere symplectische structuren (2) Het uitbreiden van T-dualiteit naar singuliere torus fibraties. (3) Het transformeren van singuliere naar verbladerde meetkundige structuren. (4) Het opstellen van een vertaling tussen singuliere symplectische en algebraïsche log meetkunde. Het voltooien van deze projecten bereid de weg voor interessante nieuwe interacties tussen deze gebieden.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Hohloch Sonja
• Mandaathouder: Witte Aldo

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Het doel van dit project is het bestuderen van de topologische entropie van Reeb stromingen en haar relaties met symplectische en contact topologieën. Reeb stromingen vormen een speciale klasse van dynamische systemen welke zich op het raakvlak van meetkunde, topologie, en mathematische fysica bevindt. De klasse van Reeb stromingen bevat de geodetische stromingen van Riemannse metrieken alsook belangrijke voorbeelden van Hamiltoniaanse dynamische systemen. De dynamische eigenschappen van Reeb stromingen zijn sterk gerelateerd aan de topologische eigenschappen van contact en symplectische variëteiten. In dit project bestuderen we het gedrag van de topologische entropie van Reeb stromingen. De topologische entropie is een belangrijke dynamische invariant die in een enkel niet-negatief getal de exponentiële complexiteit van een dynamisch systeem encodeert. Als de topologische entropie van een dynamisch systeem positief is, dan vertoont het systeem complex gedrag. In dit project stellen we voor om: A) te zoeken naar een beter begrip van de dynamische eigenschappen van Reeb stromingen met positieve topologische entropie door middel van invarianten afkomstig uit Floer theorie; B) topologische methoden te gebruiken om nieuwe voorbeelden van Reeb stromingen met nul topologische entropie te construeren; C) Floer theorie te gebruiken om te bestuderen hoe topologische entropie varieert onder invloed van perturbaties van Reeb stromingen.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Hohloch Sonja
• Mandaathouder: Ribeiro de Resende Alves Marcelo

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Geometrische mechanica verwijst naar een verscheidenheid van onderwerpen die op de snijlijn van differentiaalmeetkunde, dynamische systemen en analytische mechanica liggen. Het belangrijkste idee is om de meetkundige structuren te identificeren die ten grondslag liggen van klassen van dynamische systemen uit de theoretische fysica en ingenieurswetenschappen. Dergelijke structuren zijn nuttig in de kwalitatieve studie van het systeem en kunnen ook gebruikt worden bij het ontwerpen van controlewetten en meetkundige integratoren. De eigenschap dat een systeem afkomstig is van een variationeel principe is een van deze nuttige structuren. In dit project zullen we het inverse probleem van de variatierekening gebruiken om controlewetten te vinden voor mechanische systemen. Het voordeel is dat we vervolgens energiemethoden kunnen gebruiken om stabiliteit aan te tonen. We zullen ook meer flexibiliteit toestaan in het klassieke inverse probleem om de mogelijke toepassingen uit te breiden. Meer precies, voor het geval van een Lie-algebra zullen we variabele structuurconstanten toestaan om meer vrijheid in de vorming van energie te creëren. De EDS-theorie werd in het verleden succesvol toegepast op het inverse probleem. We zullen haar aanpassen, zodat ze kan toegepast worden op het inverse probleem in de context van zogenaamde Hamiltonizatie van niet-holonome systemen. Ten slotte zullen we ook geometrische integratoren bestuderen voor metriplectische en dissipatieve systemen.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Mestdag Tom
• Co-promotor: Hohloch Sonja
• Mandaathouder: Farre Puiggali Marta

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Semitorische systemen zijn een klasse van dynamische systemen (zoals een tol) die aan bepaalde symmetrieën voldoen. Deze systemen kunnen volledig beschreven worden aan de hand van de vijf invarianten die men met het systeem kan associëren. De studie van semitorische systemen is een onderdeel van de symplectische meetkunde. Een ander bekend deelgebied van de symplectische meetkunde is Floertheorie. Floertheorie heeft de bedoeling om bepaalde invarianten van symplectische variëteiten en hun Lagrangiaanse subvariëteiten (een type deelvariëteit dat ook natuurlijk opduikt in de studie van semitoric systemen) te berekenen en te begrijpen. Wij stellen voor om (1) onderzoek op te starten om de invarianten van semitorische systemen beter te begrijpen, (2) resultaten en ideeën rond semitorische systemen uit te breiden tot meer algemene systemen (inclusief die met zogenaamde hyperbolische punten, die vaak voorkomen in de natuur), (3) het verband tussen semitorische systemen, integreerbare systemen en Floertheorie te verkennen.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Hohloch Sonja
• Mandaathouder: Palmer Joseph

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Semitoric systemen zijn een soort dynamisch systeem die aan bepaalde symmetrieën voldoen. Deze systemen kunnen goed worden begrepen in termen van vijf invarianten. Semitoric systemen liggen op het gebied van de symplectische geometrie, een ander subveld van symmetrische geometrie is de Floertheorie, die probeert om bepaalde invarianten van symplectische variëteiten en hun Lagrangiaanse subvariëteiten (een type deelvariëteit dat van nature ontstaat in de studie van semitoric systemen) te berekenen en te begrijpen. Dit project zal (1) onderzoek initiëren om de invarianten van semitoric systemen beter te begrijpen; (2) resultaten en ideeën uit semitoric systemen uitbreiden tot meer algemene systemen (inclusief die met zogenaamde hyperbolische punten, die veel voorkomen in de natuur); (3) verken het verband tussen semitoric systemen, integreerbare systemen en Floertheorie.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Hohloch Sonja
• Mandaathouder: Palmer Joseph

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Tijdens de laatste decenniums versnelde het onderzoek in symplectische meetkunde en konden nieuwe tools toegepast worden op veel diverse wiskundige onderwerpen. Dit Excellence of Science (EoS) onderzoeksproject zal deze ideeën nog verder uitbreiden naar gebieden die niet onmiddellijk verbonden zijn aan symplectische meetkunde.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Hohloch Sonja

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project website

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Hamiltoniaanse systemen, zo genoemd naar de Iers wiskundige, natuurkundige en astronoom W. R. Hamilton (1805-1875), vormen een belangrijke deelklasse van dynamische systemen, omwille de aanwezigheid van enkele behoudswetten en wegens hun rigiditeitskenmerken. Het n-lichamenvraagstuk ('de beweging van de planeten rond de zon') is een welbekend klassiek voorbeeld. Hamiltoniaanse systemen komen in velerlei vormen voor binnen de wiskunde, de fysica, de scheikunde, de biologie en de ingenieurswetenschappen. Klassieke Hamiltoniaanse systemen formuleert men als gewone differentiaalvergelijkingen op eindigdimensionale ruimtes. Daarnaast bestaan er tevens vergelijkingen die men ook als Hamiltoniaans systemen kan formuleren, maar dan op oneindigdimensionale ruimtes. Dergelijke systemen worden Hamiltoniaanse partiële differentaalvergelijkingen genoemd: De Korteweg-de Vries vergelijking, de Sine-Gordon vergelijking, de nietlineaire Schrödinger vergelijking zijn maar enkele voorbeelden. Dit project beschouwt twee verschillende aspecten: enerzijds start men met een `drieholomorfe' Diracachtige vergelijking op een zogenaamde hyperkähler variëteit en transformeert men deze in een Hamiltoniaanse partiële differentiaalvergelijking op de oneindigdimensionale loop space van de variëteit. We bestuderen dan voor deze nieuwe vergelijking de volgende kenmerken: behoudswetten, integrabiliteitseigenschappen ('extra symmetrieën'), aspecten van moderne symplectische meetkunde (zoals non-squeezing eigenschappen, symplectische capaciteiten, etc). Anderzijds zijn we geïnteresseerd in de existentie en het bifurcatiegedrag van singulariteiten met hyperbolische componenten in 4-dimensionale integreerbare Hamiltoniaanse systemen en de classificatie van de geassocieerde vezels.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Hohloch Sonja
• Mandaathouder: Gullentops Yannick

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Dit onderzoeksproject beschouwd interactie van integreerbare Hamiltoniaanse systemen en moderne symplectische meetkunde: De classificatie in de zin van Pelayo & Vu Ngoc wordt vervolledigd en afgerond voor twee fundamentele voorbeelden van semitorische systemen, namelijk de coupled spin oscillator en coupled angular momenta. Bijkomend worden meer algemeine families van semitorische systemen bestudeerd en gedeeltelijk geclassificeerd.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Hohloch Sonja
• Mandaathouder: Alonso Fernandez Jaume

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject