Onderzoek Tom Mestdag

Abstract

De wiskundige modellen die aan de basis liggen van vele natuurkundige- en ingenieurstoepassingen bevatten vaak bindingen. In het geval deze bindingen snelheidsafhankelijk zijn (of: de toegestane richtingen beperken), en wanneer ze niet geïntegreerd kunnen worden tot een louter positieafhankelijke vorm, worden dergelijke bindingen in de mechanica niet-holonome bindingen genoemd. In dit project onderzoeken we de bijna-symplectische en bijna-Poisson-meetkunde achter Lagrangiaanse systemen met dergelijke beperkingen. In het bijzonder richten we ons op de niet-holonome exponentiële afbeelding voor algemene Lagrangiaanse functies en op de kromming van niet-lineaire niet-holonome bindingen. Chaplyginsystemen zijn een subklasse van niet-holonome systemen met een symmetriegroep. Eerst maken we voor deze klasse een diepgaande studie van de niet-holonome exponentiële afbeelding, in het geval van een kinetische-energie-Lagrangiaan. Vervolgens gebruiken we technieken uit de Finslermeetkunde om de resultaten uit te breiden naar de situatie van een algemene Lagrangiaanse functie. Tot slot beschouwen we niet-lineaire niet-holonome bindingen. Ze kunnen worden weergegeven door de horizontale variëteit van een niet-lineaire splitsing op een vezelbundel. Het concept van een niet-lineaire splitsing breidt dat van een Ehresmannconnectie uit. We onderzoeken de rol van hun kromming, in de context van niet-holonome systemen.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Mestdag Tom
• Mandaathouder: Belrhazi Malika

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Geometrische Mechanica staat voor de toepassing van differentiaalmeetkundige methoden bij de studie van dynamische systemen uit de wiskundige natuurkunde. De doelstellingen in dit project zijn gecentreerd rond dergelijke meetkundige technieken voor de reductie en ontreductie van Lagrangiaanse systemen die invariant zijn onder de actie van een symmetrie Liegroep. Dergelijke systemen komen voor in de variatierekening en in de Finslermeetkunde. Voor een hoofdvezelbundel verwijst de terminologie symmetriereductie naar het feit dat een invariant Lagrangiaans systeem op de totale manifold gereduceerd kan worden tot een stel differentiaalvergelijkingen op de quotiëntmanifold (de zogenaamde Lagrange-Poincare-vergelijkingen). Ontreductie heeft het tegenovergestelde doel: een Lagrangiaans systeem op de quotiëntmanifold wordt gerelateerd aan een stel differentiaalvergelijkingen op de totale manifold. In dit project zullen we de condities onderzoeken waaronder het ontgereduceerde systeem teruggebracht kan worden tot een stel Euler-Lagrangevergelijkingen, voor een zekere (nog onbekende) Lagrangiaan op de totale manifold. Het belangrijkste instrument dat we hiervoor zullen gebruiken, is het zogenaamde inverse probleem van de variatierekening. Daarnaast zullen we de methode van ontreductie zowel uitbreiden als specifieker maken, op zo'n manier dat ze voldoet aan de behoeften van het onderzoek naar isometrische submersies tussen twee Finslermanifolds.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Hohloch Sonja
• Co-promotor: Mestdag Tom
• Mandaathouder: Yasaka Kenzo

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Geometrische mechanica verwijst naar een verscheidenheid van onderwerpen die op de snijlijn van differentiaalmeetkunde, dynamische systemen en analytische mechanica liggen. Het belangrijkste idee is om de meetkundige structuren te identificeren die ten grondslag liggen van klassen van dynamische systemen uit de theoretische fysica en ingenieurswetenschappen. Dergelijke structuren zijn nuttig in de kwalitatieve studie van het systeem en kunnen ook gebruikt worden bij het ontwerpen van controlewetten en meetkundige integratoren. De eigenschap dat een systeem afkomstig is van een variationeel principe is een van deze nuttige structuren. In dit project zullen we het inverse probleem van de variatierekening gebruiken om controlewetten te vinden voor mechanische systemen. Het voordeel is dat we vervolgens energiemethoden kunnen gebruiken om stabiliteit aan te tonen. We zullen ook meer flexibiliteit toestaan in het klassieke inverse probleem om de mogelijke toepassingen uit te breiden. Meer precies, voor het geval van een Lie-algebra zullen we variabele structuurconstanten toestaan om meer vrijheid in de vorming van energie te creëren. De EDS-theorie werd in het verleden succesvol toegepast op het inverse probleem. We zullen haar aanpassen, zodat ze kan toegepast worden op het inverse probleem in de context van zogenaamde Hamiltonizatie van niet-holonome systemen. Ten slotte zullen we ook geometrische integratoren bestuderen voor metriplectische en dissipatieve systemen.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Mestdag Tom
• Co-promotor: Hohloch Sonja
• Mandaathouder: Farre Puiggali Marta

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject

Abstract

Binnen de studie van dynamische systemen hebben meetkundige methoden het voordeel dat ze globale resultaten opleveren, in plaats van enkel lokale. Heel vaak worden de dynamische systemen die we kennen uit de theoretische fysica of andere delen van de wetenschappen in essentie gedefinieerd door een geometrische structuur, samen met andere data. In dit project zullen we ons voornamelijk concentreren op aspecten die gerelateerd zijn aan de symmetrieën van dergelijke dynamische systemen. De definiërende eigenschap van een symmetrie is dat het een afbeelding is die oplossingen van een systeem omzet in oplossingen. Aangezien het aantal dynamische systemen dat men kan exact oplossen beperkt is, is het vinden van symmetrieën een van de belangrijkste stappen in het proces om een stelsel differentiaalvergelijkingen op te lossen. Symmetrieën en, mogelijks, hun geassocieerde behoudswetten kunnen vaak gebruikt worden om het probleem te reduceren tot een kleiner (gereduceerd) systeem van differentiaalvergelijkingen, waarvan men hoopt dat het makkelijker kan opgelost worden. Elke verdere poging om dit gereduceerde systeem te integreren steunt op de vraag of de geometrische structuur van het oorspronkelijke systeem behouden blijft voor het gereduceerde systeem. Het huidig project heeft als doel om, voornamelijk binnen de context van singuliere Lagrangiaanse systemen, de meest geschikte voorwaarden te vinden voor een dergelijke structuurbehoudende reductie.

Onderzoeker(s)

• Promotor: Mestdag Tom

Onderzoeksgroep(en)

• Fundamentele Wiskunde

Project type(s)

• Onderzoeksproject