Abstract
Hamiltoniaanse systemen, zo genoemd naar de Iers wiskundige, natuurkundige en astronoom W. R. Hamilton (1805-1875), vormen een belangrijke deelklasse van dynamische systemen, omwille de aanwezigheid van enkele behoudswetten en wegens hun rigiditeitskenmerken. Het n-lichamenvraagstuk ('de beweging van de planeten rond de zon') is een welbekend klassiek voorbeeld. Hamiltoniaanse systemen komen in velerlei vormen voor binnen de wiskunde, de fysica, de scheikunde, de biologie en de ingenieurswetenschappen.
Klassieke Hamiltoniaanse systemen formuleert men als gewone differentiaalvergelijkingen op eindigdimensionale ruimtes. Daarnaast bestaan er tevens vergelijkingen die men ook als Hamiltoniaans systemen kan formuleren, maar dan op oneindigdimensionale ruimtes. Dergelijke systemen worden Hamiltoniaanse partiële differentaalvergelijkingen genoemd: De Korteweg-de Vries vergelijking, de Sine-Gordon vergelijking, de nietlineaire Schrödinger vergelijking zijn maar enkele voorbeelden.
Dit project beschouwt twee verschillende aspecten: enerzijds start men met een `drieholomorfe' Diracachtige vergelijking op een zogenaamde hyperkähler variëteit en transformeert men deze in een Hamiltoniaanse partiële differentiaalvergelijking op de oneindigdimensionale loop space van de variëteit. We bestuderen dan voor deze nieuwe vergelijking de volgende kenmerken: behoudswetten, integrabiliteitseigenschappen ('extra symmetrieën'), aspecten van moderne symplectische meetkunde (zoals non-squeezing eigenschappen, symplectische capaciteiten, etc). Anderzijds zijn we geïnteresseerd in de existentie en het bifurcatiegedrag van singulariteiten met hyperbolische componenten in 4-dimensionale integreerbare Hamiltoniaanse systemen en de classificatie van de geassocieerde vezels.
Onderzoeker(s)
Onderzoeksgroep(en)
Project type(s)